Kamis, 14 Januari 2010

Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Ada beberapa macam system koordinat yaitu:
  • Sistem Koordinat Cartesius,
  • Sistem Koordinat Kutub,
  • Sistem Koordinat Tabung, dan
  • Sistem Koordinat Bola.

Sistem koordinat Kartesius

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Langsung ke: navigasi, cari
Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan mengggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Lihat koordinat (matematika) untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem koordinat polar.

Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.


Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, dimana huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedngakan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).

Kuadran nilai x nilai y
I > 0 > 0
II <> > 0
III <> <>
IV > 0 <>


Barisan dan Deret Geometri

A.Barisan Geometri

1. Pengertian Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah sederetan bilangna yang berupa suku (satuan) atau unit (U) dan ditulis secara berurutan, dimana perbandingan dua buah suku yang berurutan berharga konstan(tetap) dan dinamakan rasio yang dilambangkan dengan “r”
Sehingga
r = Un
Un-1
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah:
a, ar, ar² , .......ar n-1

2. Suku ke-n Barisan Geometri
Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio, dan Un adalah suku ke-n
r = Un maka Un = r . Un-1
Un-1

Sehingga Un = ar n-1

Dengan memandang rasionya maka diperoleh tiga jenis, seperti berikut :
a. Jika rasio lebih besar (r >1), maka suku-suku barisan itu semakin besar nilainya/ naik.
b. Jika rasionya 0 dan 1 (0<>1), maka suku-suku barisan itu semakin kecil nilainya/ turun
c. Jika rasio <0, maka suku barisan berganti tanda disebut barisan naik turun.

3). Nilai Tengah Barisan Geometri
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
sehingga diperoleh hubungan Ut2 = ( U1. U(2t – 1))

Karena U(2t -1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,
maka:

Utengah = √Uawal-Uakhir

B. Deret Geometri

Deret geometri adalah suku-suku dari suatu barisan geometri yang dijumlahkan
Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un,
jika Un+1> Un maka deretnya disebut deret geometri naik,
dan jika Un+1 < Un , maka deretnya disebut deret geometri turun. Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio, dan a adalah suku pertama suatu deret geometri, maka :

1) Sn =a(rn-1) digunakan jika r >1
r-1

2) Sn =a(1-rn) digunakan jika 0< r <1

1-r

1. Suku Tengah Deret Geometri
Suku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengahtengahantara a dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumusberikut :
Ut = √axUn

2. Deret Geometri Tak Hingga
Deret Geometri Tak Hingga adalah deret geometri yang menyatakan banyaknya suku deret geometri itu tak hingga, banyaknya yaitu apabila n menuju bilangan yang besar sekali.

Contoh :
a) 1 + 2 + 4 + 8 +......, r = 2
b) 9 + 3 + 1 + +......, r = 1/3

Keterangan :
a) Un menuju bilangan yang cukup besar, jika n menuju bilangan yang besar maka dinamakan deret geometri naik tak terhingga, Sn tak terhingga.
b) Un menuju atau mendekati nol maka dinamakan deret geometri turun tak hingga

Jumlah deret geomatri turun tak hingga :

Sn =a(1-rn) = a - arn , 0< r <1 1-r 1-r 1-r

Maka : Sn = a = 0→ Sn = a
1-r 1-r

Jenis Deret Geometri Tak Hingga

3. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Deret Geometri Tak Hingga Konvergen adalah suatu deret dengan rasio |r| <1 atau -1< r <1 . Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen dirumuskan dengan nilai pendekatan

Sn = a

1-r

Contoh : 1 + 1 + 1 + 1 +......

3 9 27

5. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (Menyebar)
Deret Geometri Tak Hingga Divergen adalah deret dengan rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Jumlah deret geometri tak hingga yang divergen tidak didefinisikan. Contoh : 1 + 3 + 9 + 27 +.......

6. Sisipan pada Deret Geometri

Sisipan pada Deret Geometri adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan, sehingga terjadi deret geometri yang baru. Rasio deret baru (r1) setelah disisipkan beberapa buah bilangan diantara x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut :

r1 = k+1√y , jika banyak suku yang disisipkan genap.

x

Dengan r1 = rasio pada deret baru.

k = banyak bilangan yang disisipkan.
x dan y adalah dua suku mula-mula.

Barisan dan Deret Aritmatika

A) Barisan Aritmatika

1. Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 selalu tetap.
Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :
U1,U2,U3,...... ,Un-1 atau a,a + b,a + 2b,……,a + (n-1) b
Keterangan : U1 = a = suku pertama
Un - Un-1 = beda = b
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku / urutan suku
Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n = 1,2,3,……

2. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan
Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).
Contoh :
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1

3. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan

Contoh :
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,....
Penyelesaian :
a = 2
b = 5-2 = 3
Un = a + (n-1) b
= 2 + (20-1) 3
= 2 + 60 – 3
= 59

Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut :
a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku
ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku
terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
sehingga diperoleh hubungan:
Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,
maka:
Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)

5). Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)
Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih
yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan.
Dengan menggunakan pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka
rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah:
Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n - 2)(n-3)d + ….

Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya

B) Deret Aritmatika

1. Pengertian Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un . Maka:
Sn = 1/2 n (a + Un)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < un =" Sn" un =" Sn'" ut =" 1/2" sn =" 1/2" ut =" Sn" a =" 1" b =" 3-2" sn =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 55">2. Sifat-Sifat Deret Aritmatika
1) Un – U(n - p) = b . p
2) Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n-1) b}

C. Sisipan dan Deret Aritmatika
1. Pengertian Sisipan
Sisipan dalam deret aritmatika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.
Contoh
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +......
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +…...

2. Beda Deret Baru
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b
k+1
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan

Contoh :
Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + ... disisipkan 2 buah bilangan, maka :
b = 15 – 6 = 9 dan k = 2
b = 9 = 3
k+1 2+1

Barisan dan Deret Bilangan

A. Barisan Bilangan

1. Pengertian Pola Bilangan
Sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.
Dari beberapa jenis bilangan, tidak semua bilangan akan kami bahas. Dalam bab ini pembahasan akan difokuskan pada himpunan bilangan asli. Sedangkan bilangan asli sendiri dibagi menjadi beberapa himpunan bagian bilangan asli.

Beberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:
Himpunan bilangan ganjil = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }
Himpunan bilangan genap = {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}
Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, dan
Himpunan bilangan prima = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }
Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-pola
bilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan
bilangan asli.

2. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap
a. Pola Bilangan Ganjil
Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9 . . .}
Dari pola-pola bilangan ganjil, kemudian dapat ditentukan jumlah bilangan asli ganjil.
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama =n2(n kuadrat)

b. Pola Bilangan Genap
Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)

3. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
kata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika di
perhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya.
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n-1 atau (2 pangkat n-1)

B. Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap - tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebut suku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan
dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.

1. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan
Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).Contoh :
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1

2. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan.

Contoh :
Suatu barisan dalam bentuk rumus Un = 2n + 3
Tentukan U15
Penyelesaian :
Un = 2n + 3
U15 = 2(15) + 3
= 33

C.Deret Bilangan

Deret Bilangan adalah suku-suku suatu barisan yang dijumlahkan.
Jumlah deret bilangan dapat dinyatakan dengan rumus Sn = 1/2 n (a + Un) 1/2
Contoh : Hitunglah jumlah bilangan asli sampai suku ke-10
Penyelesaian :
1,2,3,……10
a = 1
b = 3-2 = 1
U10 = 10
Maka:
Sn = 1/2 n (a + Un)
S10= 1/2 .10 (1 + U10)
S10= 1/2 .10 (1 + 10)
S10= 1/2 .10 (11)
S10= 55

D.Notasi Sigma
Notasi sigma adalah sutu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang umumnya dibaca “sigma” yang merupakan huruf umum Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari kata “SUM” yang artinya jumlah.

Rabu, 13 Januari 2010

Relasi

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1.Himpunan A
2.Himpunan B
3.Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian
denganb Î B.
- Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
- Bila tidak demikian maka a R b

B. CARA-CARA MENYATAKAN RELASI :

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan.
2. Dengan Diagram Panah.
3. Dengan Diagram Cartesius.

1. Himpunan Pasangan Berurutan
...Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}

Contoh :
Via: aku senang permen dan coklat
Andre: aku senang coklat dan es krim
Ita: aku suka es krim

Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :
-Himpunan A adalah himpunan nama orang
A = { Via, Andre, Ita }
-Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan
B = { es krim, coklat, permen }

2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
- Membuat dua lingkaran atau ellips.
- Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B.
- x dan y dihubungkan dengan anak panah.
- Arah anak panah menunjukkan arah relasi.
- Anak panah tersebut mewakili aturan relasi.
- bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi
di dalam A.

contoh :

R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y

3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar.
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak.
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y).

4. Kalimat Terbuka P (x,y)

Relasi A x A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

  • Refleksif
  • Irefleksif
  • Simetrik
  • Anti-simetrik
  • Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dengan dirinya sendiri.

\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R

atau

\forall_{a \in A}\quad a R a

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R

atau

\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi <> adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R

atau

\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)

atau

\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b

atau

\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b

Relasi \leq bersifat anti-simetrik, karena 5 \leq 6 mengakibatkan \lnot (6 \leq 5). Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku p \leq q dan q \leq p berarti p = q.

Relasi Transitif

Sebuah (a,b) \in R \wedge (bin R \rightarrow (a,c) \in R atau

Gagal memparse (fungsi yang tidak diketahui\berhubungan): \forall<>\forall_{a, b, c \in A}\q_{a,relasi d b, dengac \in A}\quad a R''b'', dan b \wedge b R c \rightarrow a R c

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 <>

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

  • Refleksif
  • Simetrik, dan
  • Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

  • Refleksif
  • Anti-simetrik, dan
  • Transitif

Lihat pula

Definisi Fungsi

Fungsi adalah relasi yang menghubungkan setiap domain dengan kodomain.

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

f : A \rightarrow B

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

x \in A
f : x \rightarrow x^2

atau

f(x) =\, x^2
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang khusus, yaitu relasi yang setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Untuk fungsi dari A ke B diperlukan syarat, yaitu:
  1. mempunyai dua himpunan A dan B;
  2. suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

  • Himpunan A disebut daerah asal atau daerah definisi atau domain fungsi itu. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan anggota A dinamakan daerah hasil atau daerah nilai ( range ) fungsi itu.
  • Jika a anggota daerah asal, maka anggota daerah hasil yang bersesuaian dengan a disebut bayangan dari a ( peta dari a ) oleh fungsi f, dan dinyatakan dengan f(a). Himpunan semua bayangan membentuk daerah hasil fungsi tersebut. f(a) juga disebut nilai fungsi untuk a.
  • Fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x)=ax+c dengan a, c ` R dan a g 0 dinamakan fungsi linear.

f(x) = ax + c adalah rumus fungsi linear.

y = ax + c adalah persamaan fungsi linear.

  • Untuk persamaan fungsi y = ax + c, x disebut variabel bebas dan y disebut variabel tak bebas.
  • Menggambar grafik fungsi
  1. Membuat daftar untuk menentukan daerah hasil.
  2. Menentukan himpunan pasangan berurutan.
  3. Membuat sumbu vertikal dan horizontal.
  4. Meletakkan noktah-noktah dari himpunan pasangan berurutan yang telah dibuat.
  • Jika n(A) = p dan n(B) = q, maka banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B adalah q p .
  • Himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika anggota-anggota himpunan A dan B dipasangkan sedemikian rupa sehingga setiap anggota himpunan A berpasangan dengan satu anggota himpunan B daqn setiap anggota himpunan B berpasangan dengan satu anggota himpunan A.