tag:blogger.com,1999:blog-59153016912774872602024-03-05T04:44:32.815-08:00WELCOMEFajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.comBlogger22125tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-40580468630809782802010-01-14T23:59:00.002-08:002010-01-16T20:44:39.400-08:00Sistem Koordinat<span style="font-family:Times New Roman;">Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Ada beberapa macam system koordinat yaitu: </span><br /><ul><li><span style="font-family:Times New Roman;"></span><span style="font-family:Times New Roman;">Sistem Koordinat Cartesius,<br /></span></li><li><span style="font-family:Times New Roman;">Sistem Koordinat Kutub, </span></li><li><span style="font-family:Times New Roman;">Sistem Koordinat Tabung, dan </span></li><li><span style="font-family:Times New Roman;">Sistem Koordinat Bola. </span></li></ul><br /><h1 id="firstHeading" class="firstHeading">Sistem koordinat Kartesius</h1> <h3 id="siteSub">Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas</h3> <div id="jump-to-nav">Langsung ke: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius#column-one">navigasi</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius#searchInput">cari</a></div> <!-- start content --> <div class="thumb tleft"> <div class="thumbinner" style="width: 252px;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cartesian-coordinate-system.svg" class="image"><img alt="" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/250px-Cartesian-coordinate-system.svg.png" class="thumbimage" width="250" height="250" /></a> <div class="thumbcaption"> <div class="magnify"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cartesian-coordinate-system.svg" class="internal" title="Perbesar"><img src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" alt="" width="15" height="11" /></a></div> Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.</div> </div> </div> <p>Dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a>, <b>Sistem koordinat Kartesius</b> digunakan untuk menentukan tiap <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_%28geometri%29&action=edit&redlink=1" class="new" title="Titik (geometri) (halaman belum tersedia)">titik</a> dalam <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bidang_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bidang (matematika) (halaman belum tersedia)">bidang</a> dengan menggunakan dua <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan">bilangan</a> yang biasa disebut <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Koordinat" title="Koordinat" class="mw-redirect">koordinat</a> x</i> dan <i>koordinat y</i> dari titik tersebut.</p> <p>Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).</p> <p>Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).</p> <div class="thumb tright"> <div class="thumbinner" style="width: 252px;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg" class="image"><img alt="" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg/250px-Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg.png" class="thumbimage" width="250" height="257" /></a> <div class="thumbcaption"> <div class="magnify"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg" class="internal" title="Perbesar"><img src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" alt="" width="15" height="11" /></a></div> Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.</div> </div> </div> <p>Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kurva" title="Kurva">kurva</a> dapat diekspresikan dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan" title="Persamaan">persamaan</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar">aljabar</a>. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).</p> <p>Istilah <i><b>Kartesius</b></i> digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Filsuf" title="Filsuf" class="mw-redirect">filsuf</a> dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perancis" title="Perancis">Perancis</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes" class="mw-redirect">Descartes</a>, yang perannya besar dalam menggabungkan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar">aljabar</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a> (Cartesius adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin" title="Bahasa Latin">latinisasi</a> untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_analitik&action=edit&redlink=1" class="new" title="Geometri analitik (halaman belum tersedia)">geometri analitik</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kartografi" title="Kartografi">kartografi</a>.</p> <p>Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/1637" title="1637">1637</a> dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Discourse_on_Method&action=edit&redlink=1" class="new" title="Discourse on Method (halaman belum tersedia)">Discourse on Method</a></i>, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_%28geometri%29&action=edit&redlink=1" class="new" title="Titik (geometri) (halaman belum tersedia)">titik</a> atau obyek pada sebuah permukaan, dengan mengggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=La_G%C3%A9om%C3%A9trie&action=edit&redlink=1" class="new" title="La Géométrie (halaman belum tersedia)">La Géométrie</a>, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.</p> <p>Lihat <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Koordinat_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" class="new" title="Koordinat (matematika) (halaman belum tersedia)">koordinat (matematika)</a> untuk sistem-sistem koordinat lain seperti <i>sistem koordinat polar</i>.</p> <h2><span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Sistem_koordinat_dua_dimensi">Sistem koordinat dua dimensi</span></h2> <p>Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label <i>x</i>, dan sumbu vertikal diberi label <i>y</i>. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label <i>z</i>. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)</p> <p>Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label <i>0</i>. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam <i>grid</i>. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai <i>x</i> ditulis (<b>absis</b>), lalu diikuti dengan nilai <i>y</i> (<b>ordinat</b>). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (<i>x</i>,<i>y</i>) dan urutannya tidak dibalik-balik.</p> <div class="thumb tleft"> <div class="thumbinner" style="width: 352px;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cartesian_coordinates_2D.svg" class="image"><img alt="" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Cartesian_coordinates_2D.svg/350px-Cartesian_coordinates_2D.svg.png" class="thumbimage" width="350" height="325" /></a> <div class="thumbcaption"> <div class="magnify"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cartesian_coordinates_2D.svg" class="internal" title="Perbesar"><img src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" alt="" width="15" height="11" /></a><br />Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.</div></div> </div> </div> <p>Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, dimana huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedngakan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.</p> <p>Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik <i>P</i> berada pada koordinat (3,5).</p> <p>Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut <b>kuadran</b>, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).</p> <table width="40%" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr> <th>Kuadran</th> <th>nilai x</th> <th>nilai y</th> </tr> <tr align="center"> <td>I</td> <td>> 0</td> <td>> 0</td> </tr> <tr align="center"> <td>II</td> <td><> </td><td>> 0</td> </tr> <tr align="center"> <td>III</td> <td><> </td><td><> </td></tr> <tr align="center"> <td>IV</td> <td>> 0</td> <td><> </td></tr> </tbody></table> <p><br /></p>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-1706278593814799632010-01-14T23:59:00.001-08:002010-01-16T20:29:52.227-08:00Barisan dan Deret Geometri<span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">A.Barisan Geometri</span><br /><br />1. Pengertian Barisan Geometri<br />Barisan Geometri adalah sederetan bilangna yang berupa suku (satuan) atau unit (U) dan ditulis secara berurutan, dimana perbandingan dua buah suku yang berurutan berharga konstan(tetap) dan dinamakan rasio yang dilambangkan dengan “r”<br />Sehingga<br />r = Un<br />Un-1<br />Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah:<br />a, ar, ar² , .......ar n-1<br /><br />2. Suku ke-n Barisan Geometri<br />Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio, dan Un adalah suku ke-n<br />r = Un maka Un = r . Un-1<br />Un-1<br /><br />Sehingga Un = ar n-1<br /><br />Dengan memandang rasionya maka diperoleh tiga jenis, seperti berikut :<br />a. Jika rasio lebih besar (r >1), maka suku-suku barisan itu semakin besar nilainya/ naik.<br />b. Jika rasionya 0 dan 1 (0<>1), maka suku-suku barisan itu semakin kecil nilainya/ turun<br />c. Jika rasio <0, maka suku barisan berganti tanda disebut barisan naik turun.<br /><br />3). Nilai Tengah Barisan Geometri<br />Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).<br />sehingga diperoleh hubungan Ut2 = ( U1. U(2t – 1))<br /><br />Karena U(2t -1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,<br />maka:<br /><br />Utengah = √Uawal-Uakhir<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">B. Deret Geometri</span><br /><br />Deret geometri adalah suku-suku dari suatu barisan geometri yang dijumlahkan<br />Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un,<br />jika Un+1> Un maka deretnya disebut deret geometri naik,<br />dan jika Un+1 < Un , maka deretnya disebut deret geometri turun. Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio, dan a adalah suku pertama suatu deret geometri, maka :<br /><br />1) Sn =a(rn-1) digunakan jika r >1<br />r-1<br /><br />2) Sn =a(1-rn) digunakan jika 0< r <1<br /><br />1-r<br /><br /><span style="font-weight: bold;">1. Suku Tengah Deret Geometri</span><br />Suku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengahtengahantara a dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumusberikut :<br />Ut = √axUn<br /><br /><span style="font-weight: bold;">2. Deret Geometri Tak Hingga</span><br />Deret Geometri Tak Hingga adalah deret geometri yang menyatakan banyaknya suku deret geometri itu tak hingga, banyaknya yaitu apabila n menuju bilangan yang besar sekali.<br /><br />Contoh :<br />a) 1 + 2 + 4 + 8 +......, r = 2<br />b) 9 + 3 + 1 + +......, r = 1/3<br /><br />Keterangan :<br />a) Un menuju bilangan yang cukup besar, jika n menuju bilangan yang besar maka dinamakan deret geometri naik tak terhingga, Sn tak terhingga.<br />b) Un menuju atau mendekati nol maka dinamakan deret geometri turun tak hingga<br /><br />Jumlah deret geomatri turun tak hingga :<br /><br />Sn =a(1-rn) = a - arn , 0< r <1 1-r 1-r 1-r<br /><br />Maka : Sn = a = 0→ Sn = a<br />1-r 1-r<br /><br />Jenis Deret Geometri Tak Hingga<br /><br /><span style="font-weight: bold;">3. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen</span><br />Deret Geometri Tak Hingga Konvergen adalah suatu deret dengan rasio |r| <1 atau -1< r <1 . Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen dirumuskan dengan nilai pendekatan<br /><br />Sn = a<br /><br />1-r<br /><br />Contoh : 1 + 1 + 1 + 1 +......<br /><br />3 9 27<br /><br /><span style="font-weight: bold;">5. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (Menyebar)</span><br />Deret Geometri Tak Hingga Divergen adalah deret dengan rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Jumlah deret geometri tak hingga yang divergen tidak didefinisikan. Contoh : 1 + 3 + 9 + 27 +.......<br /><br /><span style="font-weight: bold;">6. Sisipan pada Deret Geometri</span><br /><br />Sisipan pada Deret Geometri adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan, sehingga terjadi deret geometri yang baru. Rasio deret baru (r1) setelah disisipkan beberapa buah bilangan diantara x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut :<br /><br />r1 = k+1√y , jika banyak suku yang disisipkan genap.<br /><br />x<br /><br />Dengan r1 = rasio pada deret baru.<br /><br />k = banyak bilangan yang disisipkan.<br />x dan y adalah dua suku mula-mula.Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-39726240131818010572010-01-14T23:58:00.000-08:002010-01-16T20:31:47.624-08:00Barisan dan Deret Aritmatika<span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">A) Barisan Aritmatika</span><br /><br />1. Pengertian Barisan Aritmatika<br />Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.<br />Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 selalu tetap.<br />Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :<br />U1,U2,U3,...... ,Un-1 atau a,a + b,a + 2b,……,a + (n-1) b<br />Keterangan : U1 = a = suku pertama<br /> Un - Un-1 = beda = b<br /> Un = suku ke-n<br /> n = banyaknya suku / urutan suku<br />Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n = 1,2,3,……<br /><br />2. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan<br />Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).<br />Contoh :<br />Tulis rumusnya 2,3,4,...<br />Penyelesaian :<br />a = 2<br />b = 3-2 = 1<br />Un = a + (n-1) b<br />Un = 2 + (n-1) 1<br />Un = 2 + n – 1<br />Un = n - 1<br /><br />3. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan<br />Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan<br />pembentukan barisan bilangan<br /><br />Contoh :<br />Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,....<br />Penyelesaian :<br />a = 2<br />b = 5-2 = 3<br />Un = a + (n-1) b<br /> = 2 + (20-1) 3<br /> = 2 + 60 – 3<br /> = 59<br /><br />Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut :<br />a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.<br />b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.<br />Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku<br />ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku<br />terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).<br />sehingga diperoleh hubungan:<br />Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )<br />Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,<br />maka:<br />Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)<br /><br />5). Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)<br />Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih<br />yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan.<br />Dengan menggunakan pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka<br />rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah:<br />Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n - 2)(n-3)d + ….<br /><br />Keterangan :<br />a = suku ke-1 barisan mula-mula<br />b = suku ke-1 barisan tingkat satu<br />c = suku ke-1 barisan tingkat dua<br />d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">B) Deret Aritmatika</span><br /><br />1. Pengertian Deret Aritmatika<br />Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un . Maka:<br />Sn = 1/2 n (a + Un)<br />Keterangan:<br />1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")<br />2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0<br />Barisan aritmatika akan turun jika b < un =" Sn" un =" Sn'" ut =" 1/2" sn =" 1/2" ut =" Sn" a =" 1" b =" 3-2" sn =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 55">2. Sifat-Sifat Deret Aritmatika<br />1) Un – U(n - p) = b . p<br />2) Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n-1) b}<br /><br />C. Sisipan dan Deret Aritmatika<br />1. Pengertian Sisipan<br />Sisipan dalam deret aritmatika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.<br />Contoh<br />Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +......<br />Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +…...<br /><br />2. Beda Deret Baru<br />Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus berikut :<br />b1 = b <br /> k+1<br />b1 = beda deret baru<br />b = beda deret mula-mula<br />k = banyak bilangan yang disisipkan<br /><br />Contoh :<br />Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + ... disisipkan 2 buah bilangan, maka :<br />b = 15 – 6 = 9 dan k = 2<br /> b = 9 = 3<br />k+1 2+1Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-22330579156793271472010-01-14T23:57:00.000-08:002010-01-16T20:33:25.627-08:00Barisan dan Deret Bilangan<span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">A. Barisan Bilangan</span><br /><br />1. Pengertian Pola Bilangan<br />Sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.<br />Dari beberapa jenis bilangan, tidak semua bilangan akan kami bahas. Dalam bab ini pembahasan akan difokuskan pada himpunan bilangan asli. Sedangkan bilangan asli sendiri dibagi menjadi beberapa himpunan bagian bilangan asli.<br /><br />Beberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:<br />Himpunan bilangan ganjil = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }<br />Himpunan bilangan genap = {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}<br />Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, dan<br />Himpunan bilangan prima = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }<br />Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-pola<br />bilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan<br />bilangan asli.<br /><br />2. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap<br />a. Pola Bilangan Ganjil<br />Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9 . . .}<br />Dari pola-pola bilangan ganjil, kemudian dapat ditentukan jumlah bilangan asli ganjil.<br />Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama =n2(n kuadrat)<br /><br />b. Pola Bilangan Genap<br />Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.<br />Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:<br />2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)<br /><br />3. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal<br />kata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika di<br />perhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya.<br />Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n-1 atau (2 pangkat n-1)<br /><br />B. Barisan Bilangan<br />Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap - tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebut suku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan<br />dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.<br /><br />1. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan<br />Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).Contoh :<br />Tulis rumusnya 2,3,4,...<br />Penyelesaian :<br />a = 2<br />b = 3-2 = 1<br />Un = a + (n-1) b<br />Un = 2 + (n-1) 1<br />Un = 2 + n – 1<br />Un = n - 1<br /><br />2. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan<br />Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan<br />pembentukan barisan bilangan.<br /><br />Contoh :<br />Suatu barisan dalam bentuk rumus Un = 2n + 3<br />Tentukan U15<br />Penyelesaian :<br />Un = 2n + 3<br />U15 = 2(15) + 3<br /> = 33<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">C.Deret Bilangan</span><br /><br />Deret Bilangan adalah suku-suku suatu barisan yang dijumlahkan.<br />Jumlah deret bilangan dapat dinyatakan dengan rumus Sn = 1/2 n (a + Un) 1/2<br />Contoh : Hitunglah jumlah bilangan asli sampai suku ke-10<br />Penyelesaian :<br />1,2,3,……10<br />a = 1<br />b = 3-2 = 1<br />U10 = 10<br />Maka:<br />Sn = 1/2 n (a + Un)<br />S10= 1/2 .10 (1 + U10)<br />S10= 1/2 .10 (1 + 10)<br />S10= 1/2 .10 (11)<br />S10= 55<br /><br />D.Notasi Sigma<br />Notasi sigma adalah sutu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang umumnya dibaca “sigma” yang merupakan huruf umum Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari kata “SUM” yang artinya jumlah.Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-73123183830475980052010-01-13T23:59:00.002-08:002010-01-16T19:53:21.038-08:00Relasi<span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><i><b>Hubungan/relasi</b></i> dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu <b><i>pemasangan</i></b> anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.<br /></span><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:</span><br /><br />1.Himpunan A<br />2.Himpunan B<br />3.Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.<br />Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian<br />denganb Î B.<br />- Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b<br />- Bila tidak demikian maka a R b<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0);">B. CARA-CARA MENYATAKAN RELASI :</span><br /><br />1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan.<br />2. Dengan Diagram Panah.<br />3. Dengan Diagram Cartesius.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">1. Himpunan Pasangan Berurutan</span><br />...Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.<br />R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}<br /><br />Contoh :<br />Via: aku senang permen dan coklat<br />Andre: aku senang coklat dan es krim<br />Ita: aku suka es krim<br /><br />Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :<br />-Himpunan A adalah himpunan nama orang<br />A = { Via, Andre, Ita }<br />-Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan<br />B = { es krim, coklat, permen }<br /><br /><span style="font-weight: bold;">2. Diagram Panah</span><br />Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:<br />- Membuat dua lingkaran atau ellips.<br />- Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B.<br />- x dan y dihubungkan dengan anak panah.<br />- Arah anak panah menunjukkan arah relasi.<br />- Anak panah tersebut mewakili aturan relasi.<br />- bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:<br />R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}<br />Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi<br />di dalam A.<br /><br />contoh :<br /><br />R = (A,B, P(x,y))<br />A = {2,3,4}<br />B = {3,4,5,6}<br />P(x,y) menyatakan x pembagi y<br /><br /><span style="font-weight: bold;">3. Diagram Cartesius</span><br />Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.<br />1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar.<br />2. y=B diletakkan pada sumbu tegak.<br />3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y).<br /><br /><span style="font-weight: bold;">4. Kalimat Terbuka P (x,y)</span>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-62987715518559978312010-01-13T23:59:00.001-08:002010-01-16T19:24:35.126-08:00Relasi A x A<p>Sebuah relasi <i>A</i>×<i>A</i>, yaitu relasi dari himpunan <i>A</i> kepada <i>A</i> sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:</p> <ul><li>Refleksif</li><li>Irefleksif</li><li>Simetrik</li><li>Anti-simetrik</li><li>Transitif</li></ul> <p>Kita menyebut relasi <i>R</i> dari <i>A</i> kepada <i>A</i> sebagai relasi <i>R</i> dalam <i>A</i>.</p> <h3><span class="mw-headline" id="Relasi_Refleksif">Relasi Refleksif</span></h3> <p>Sebuah relasi <i>R</i> dalam <i>A</i> disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen <i>A</i> berhubungan dengan dengan dirinya sendiri.</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R " src="http://upload.wikimedia.org/math/8/b/8/8b8048d5992691d02a6f4f3b3df36795.png" /></dd></dl> <p>atau</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a \in A}\quad a R a " src="http://upload.wikimedia.org/math/f/3/7/f37a149185969665dbe9e883dfbcae53.png" /></dd></dl> <p>Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “<i>x</i> selalu bersama <i>y</i>.”, dengan <i>x</i> dan <i>y</i> adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.</p> <h3><span class="mw-headline" id="Relasi_Irefleksif">Relasi Irefleksif</span></h3> <p>Relasi <i>R</i> dalam <i>A</i> disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen <i>A</i> tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R " src="http://upload.wikimedia.org/math/8/c/b/8cb52fa56f42c34266691d507e37f00e.png" /></dd></dl> <p>atau</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a) " src="http://upload.wikimedia.org/math/1/f/e/1fe488bad61dbe575ce8cd91f1ebf4e6.png" /></dd></dl> <p>Contoh relasi irefleksif adalah relasi “<i>x</i> mampu mencukur rambut <i>y</i> dengan rapi sempurna.”, dengan <i>x</i> dan <i>y</i> adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur <i>a</i> yang mampu mencukur rambutnya sendiri.</p> <p>Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi <> adalah irefleksif.</p> <h3><span class="mw-headline" id="Relasi_Simetrik">Relasi Simetrik</span></h3> <p>Relasi <i>R</i> dalam <i>A</i> disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota <i>A</i> berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika <i>a</i> terhubung dengan <i>b</i>, maka <i>b</i> juga terhubung dengan <i>a</i>. Jadi terdapat hubungan timbal balik.</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/f/3/0f335dd6d378ef26a39b9c210746fd60.png" /></dd></dl> <p>atau</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/2/c/12c9942f35baef111ac997d6843a1b76.png" /></dd></dl> <p>Sebuah relasi “<span class="texhtml"><i>x</i> + <i>y</i></span> genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang <i>x</i> dan <i>y</i> yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai <i>y</i> dan <i>x</i>, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.</p> <h3><span class="mw-headline" id="Relasi_Anti-simetrik">Relasi Anti-simetrik</span></h3> <p>Jika setiap <i>a</i> dan <i>b</i> yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi <i>a</i> dan <i>b</i> berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/a/b/bab55fb6344174a33c3548372b471890.png" /></dd></dl> <p>atau</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/3/e/f3e29bd6aeca4327d31a157d2a79fa7c.png" /></dd></dl> <p>Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/1/1/111c4607e6cdee8ac1feb234f5251f46.png" /></dd></dl> <p>atau</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/f/3/4f3ce30dc967479ea25c79e050990cb4.png" /></dd></dl> <p>Relasi <img class="tex" alt="\leq" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/9/d/49dc1443f33cf63082d6e193dd2af78f.png" /> bersifat anti-simetrik, karena <img class="tex" alt="5 \leq 6" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/a/b/3abca6cf32055fc16d2f0b960b1b2d63.png" /> mengakibatkan <img class="tex" alt="\lnot (6 \leq 5)" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/3/f/b3f909007d9ab556cbdf44d6fa97196a.png" />. Demikian juga jika ada <i>p</i> dan <i>q</i> yang terhadap mereka berlaku <img class="tex" alt="p \leq q" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/e/c/eecdfda12cc6679ab92122e1f9e4f58b.png" /> dan <img class="tex" alt="q \leq p" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/2/d/42d080a287ec2105aeb352475f592d45.png" /> berarti <span class="texhtml"><i>p</i> = <i>q</i></span>.</p> <h3><span class="mw-headline" id="Relasi_Transitif">Relasi Transitif</span></h3> <p>Sebuah (a,b) \in R \wedge (bin R \rightarrow (a,c) \in R atau</p> <dl><dd><strong class="error">Gagal memparse (fungsi yang tidak diketahui\berhubungan): \forall<>\forall_{a, b, c \in A}\q_{a,relasi d b, dengac \in A}\quad a R''b'', dan b \wedge b R c \rightarrow a R c</strong></dd></dl> <p>Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 <> </p><h2><span class="mw-headline" id="Relasi_khusus">Relasi khusus</span></h2> <h3><span class="mw-headline" id="Relasi_Ekivalen">Relasi Ekivalen</span></h3> <p>Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:</p> <ul><li>Refleksif</li><li>Simetrik, dan</li><li>Transitif</li></ul> <p>Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Partisi" title="Partisi" class="mw-redirect">partisi</a>, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.</p> <h3><span class="mw-headline" id="Orde_Parsial">Orde Parsial</span></h3> <p>Orde parsial adalah relasi yang bersifat:</p> <ul><li>Refleksif</li><li>Anti-simetrik, dan</li><li>Transitif</li></ul> <h2><span class="mw-headline" id="Lihat_pula">Lihat pula</span></h2> <ul><li><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">Teori himpunan</a></li><li><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan" title="Himpunan" class="mw-redirect">Himpunan</a></li><li><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi" title="Fungsi" class="mw-redirect">Fungsi</a></li><li><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kelas_ekivalen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kelas ekivalen (halaman belum tersedia)">Kelas ekivalen</a></li></ul>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-88386718196033750862010-01-13T23:50:00.000-08:002010-01-16T19:54:04.063-08:00Definisi Fungsi<span style="font-style: italic;">Fungsi</span> adalah relasi yang menghubungkan setiap domain dengan kodomain.<br /><br /><p>Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.</p> <dl><dd><img class="tex" alt="f : A \rightarrow B" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/1/3/a132525997b3adfe8c46e2945cc6092c.png" /></dd></dl> <p>Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi <i>f</i> yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi <i>f</i> yang memetakan dua himpunan, <i>A</i> kepada <i>B</i>. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.</p> <dl><dd><img class="tex" alt="x \in A" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/3/8/3380195a8703c35a0552323381e606ef.png" /></dd><dd><img class="tex" alt="f : x \rightarrow x^2" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/a/9/4a957fedc9115183daf338a2eec6d730.png" /></dd></dl> <p>atau</p> <dl><dd><img class="tex" alt="f(x) =\, x^2" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/3/4/e34a389c11d2a7949a6875eaa91b007e.png" /></dd></dl> <div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:comic sans ms;font-size:100%;" >Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B <span style="font-family:georgia,times new roman,times,serif;">adalah suatu relasi yang khusus, yaitu relasi yang setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Untuk fungsi dari A ke B diperlukan syarat, yaitu:</span></span></span></div> <ol><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >mempunyai dua himpunan A dan B;</span></span> </li><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.<img class="alignmiddleb" src="http://images.famulyono.multiply.com/image/1/photos/upload/300x300/SHWfSgoKCEMAACF4DD81/fungsi1.jpg?et=XiH3HiTC635IeW8kbOBkgw&nmid=0" border="0" /></span></span></li></ol> <p class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;" align="center"><span style="font-family:Castellar;"></span></p> <ul><li> <div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"></span><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Himpunan A disebut <span style="font-family:ms gothic,gothic;"><span style="font-family:comic sans ms;">daerah asal </span>atau <span style="font-family:comic sans ms;">daerah definisi </span>atau <span style="font-family:comic sans ms;">domain</span> fungsi itu. Himpunan B disebut <span style="font-family:comic sans ms;">daerah kawan </span>atau <span style="font-family:comic sans ms;">kodomain</span> dan himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan anggota A dinamakan <span style="font-family:comic sans ms;">daerah hasil </span>atau <span style="font-family:comic sans ms;">daerah nilai ( range )</span> fungsi itu.</span></span></span></div> </li><li> <div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Jika a anggota daerah asal, maka anggota daerah hasil yang bersesuaian dengan a disebut <span style="font-family:comic sans ms;">bayangan dari a ( peta dari a )</span> oleh fungsi <em>f</em>, dan <span style="font-family:Verdana;">dinyatakan</span> dengan <em>f</em>(a). Himpunan semua bayangan membentuk daerah hasil fungsi tersebut. <em>f</em>(a) juga disebut <span style="font-family:comic sans ms;">nilai fungsi untuk a.</span></span></span></div> </li><li> <div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:georgia,times new roman,times,serif;font-size:100%;" >Fungsi <em>f</em> yang ditentukan oleh rumus f(x)=ax+c dengan a, c <span style=";font-family:'Math A';font-size:11;" ><span style="">` </span></span> <span style=";font-family:Castellar;font-size:11;" >R</span> dan a <span style=";font-family:'Math B';font-size:11;" ><span style="">g</span></span> <span style="font-family:arial,helvetica;">0 dinamakan </span><span style="font-family:comic sans ms;">fungsi linear.</span></span></span></div></li></ul> <p class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;" align="center"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:georgia,times new roman,times,serif;font-size:100%;" ><span style="font-family:arial,helvetica;">f(x) = ax + c adalah <span style="font-family:comic sans ms;">rumus fungsi linear. </span> </span></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;" align="center"><span style="font-family:Castellar;"><span style="font-family:Verdana;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:arial,helvetica;">y = ax + c adalah </span><span style="font-family:comic sans ms;"><strong>persamaan fungsi linear.</strong></span></span> </span></span></p> <ul><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:arial,helvetica;font-size:100%;" >Untuk persamaan fungsi y = ax + c, x disebut <span style="font-family:comic sans ms;">variabel bebas </span>dan y disebut <span style="font-family:comic sans ms;">variabel tak bebas</span>.</span></span> </li><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Arial;font-size:100%;" >Menggambar grafik fungsi</span></span></li></ul> <ol><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Arial;font-size:100%;" >Membuat daftar untuk menentukan daerah hasil.</span></span> </li><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Arial;font-size:100%;" >Menentukan himpunan pasangan berurutan.</span></span> </li><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Arial;font-size:100%;" >Membuat sumbu vertikal dan horizontal.</span></span> </li><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Arial;font-size:100%;" >Meletakkan noktah-noktah dari himpunan pasangan berurutan yang telah dibuat.</span></span></li></ol> <ul><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Castellar;"><span style=";font-family:Arial;font-size:100%;" >Jika n(A) = p dan n(B) = q, maka banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B adalah <span style="font-size:11;"><span style="font-family:Times New Roman;"><em>q <sup>p</sup></em></span></span> .</span></span> </li><li class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;"><span style="font-family:Arial;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Castellar;"></span><span style="font-family:Castellar;"><span style="font-family:arial,helvetica;">Himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika anggota-anggota himpunan A dan B dipasangkan sedemikian rupa sehingga setiap anggota himpunan A berpasangan dengan satu anggota himpunan B daqn setiap anggota himpunan B berpasangan dengan satu anggota himpunan A.</span></span></span></span></li></ul> <p class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;" align="center"><span style="font-family:Arial;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Castellar;"><span style="font-family:Arial;"><img class="alignmiddleb" src="http://images.famulyono.multiply.com/image/1/photos/upload/300x300/SHWdxQoKCEMAAARzY2M1/fungsi2.jpg?et=S6D6z7H%2BIP%2CQdZUa%2CApJDg&nmid=0" border="0" /></span></span></span></span></p><p class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;" align="center"><br /><span style="font-family:Arial;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Castellar;"></span></span></span></p>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-24422412330046733212010-01-13T23:49:00.001-08:002010-01-16T19:51:37.475-08:00Jenis-Jenis Fungsi<span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">1) Fungsi konstan (fungsi tetap)</span><br /><br />Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu<br />konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya<br />sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">2) Fungsi linear</span><br /><br />A. Pengertian fungsi linier<br />Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi<br />yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut<br />dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:<br />f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c<br />m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta<br /><br />B. Melukis grafik fungsi linier<br />Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier<br />a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)<br />b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)<br />c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus<br /><br />C. Gradien dan persamaan garis lurus<br />a. Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m:<br /> m = y1-y2 atau m = y2-y1<br /> x1-x2 x2-x1<br /><br />b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:<br /> y-y1 = x-x1<br /> y2-y1 x2-x1<br /><br />c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah:<br />y = m (x – x1 ) + y1<br /><br />D. Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)<br />- Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - a/b<br />- Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a<br />- Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0<br />- Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient<br /><br />E. Titik potong dua buah garis<br />Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan<br />penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi,<br />metode substitusi maupun metode grafik<br /><br />F. Hubungan dua buah garis<br />Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">3) Fungsi kuadrat</span><br />Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh<br />f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan<br />grafiknya berupa parabola.<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">4) Fungsi identitas</span><br />Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi<br />berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.<br />Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik<br />absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">5) Fungsi tangga (bertingkat)</span><br />Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk<br />interval-interval yang sejajar.<br /><br /><span style="font-weight: bold; color: rgb(255, 0, 0);">6) Fungsi modulus</span><br />Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan<br />setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;">7) Fungsi ganjil dan fungsi genap</span><br />Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut<br />fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini<br />tidak genap dan tidak ganjil.<br /><br />8. Fungsi Polinomial<br />Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :<br />f(x) = an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0<br />Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus).<br />Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola).Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-71089848745205107082010-01-13T23:48:00.000-08:002010-01-16T20:08:55.066-08:00Fungsi Kuadrat dan Fungsi Invers<span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;font-family:courier new;" >Fungsi Kuadarat</span><br /><br />Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: f(x) = ax2 + bx + c dimana a, b, c bilangan real dan<br />a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.<br />Beberapa langkah yang ditempuh untuk menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:<br /><br /><span style="font-weight: bold;">a. Titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0</span><br /><span style="font-weight: bold;"><br />b. Titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0</span><br /><span style="font-weight: bold;"><br />c. Sumbu simetri grafik yaitu x = - b </span><br /><span style="font-weight: bold;"> 2a </span><br /><span style="font-weight: bold;"><br />d. Koordinat titik balik /titik puncak (x,y) di mana x = - b dan y = - D </span><br /><span style="font-weight: bold;"> 2a 4a</span><br /><br />dengan D = b2 – 4ac.<br /><br /><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">e. Grafik terbuka ke bawah jika a <> 0.</span><br /><br />1). Kedudukan Grafik fungsi kuadrat<br /><br />Kedudukan grafik fungsi kuadrat yang dilihat dari banyaknya titik potong dengan<br />sumbu x, ditentukan oleh nilai diskriminan yaitu D = b2 – 4ac. Sedangkan grafik membuka ke atas atau ke bawah ditentukan oleh tanda a (koefisien x2).<br /><br />Kedudukan grafik fungsi kuadrat ditinjau dari nilai diskriminan ( D ) dan a adalah<br />sebagai berikut:<br />a. Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu x di dua titik<br />b. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu x<br />c. Jika D <> 0 maka grafik terbuka ke atas dan diperoleh titik puncak minimum<br /><br />Jika a <><br /><br />2) Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat<br /><br />Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi-kondisi dibawah ini diketahui:<br />a. Grafik memotong sumbu x di (x¬1,0) dan (x2,0) serta melalui titik sembarang (x3,y3) pada grafik, maka persamaanya adalah y = a(x – x1)(x – x2).<br />b. Grafik mempunyai titik balik P(xp,yp) serta melalui titik sembarang (x1,y1) pada grafik, maka persamaanya adalah y = a(x – xp)2 + yp.<br />c. Grafik melalui tiga buah titik yaitu (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3), maka persamaanya adalah y = ax2 + bx + c.<br /><br /><span style="color: rgb(255, 0, 0); font-weight: bold;" face="courier new">Fungsi Invers</span><br /><br />1. Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai Invers<br />Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan<br />tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.<br /><br />Jika fungsi f = A→B dinyatakan dengan pasangan terurut f = {(a, b) | a A dan b B}<br />maka invers fungsi f adalah f -1= b→A ditentukan oleh f -1= {(b, a) | b B, dan a A}.<br /><br />2. Menentukan Aturan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi<br />Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif<br />atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka<br />f –1 merupakan fungsi invers f jika berlaku (f -1. f)(x) = x dan (f . f -1)(x) = x.<br /><br />Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara<br />berikut ini.<br />a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.<br />b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam<br />y dan nyatakanlah x = f(y).<br />c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f -1(x).<br /><br />3. Kaitan Sifat Fungsi Invers dengan Fungsi Komposisi<br />Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi<br /><br />Jika terdapat fungsi komposisi (g . f), maka (g . f) dapat dipandang sebagai suatu fungsi tunggal, sehingga pada fungsi tersebut dapat dicari inversnya.<br /><br />Fungsi invers dari fungsi komposisi<br />Bila suatu fungsi h : A → C ditentukan oleh h = g . f dengan f : A → B dan<br />g : B → C maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h-1= (g . f) -1.<br /><br />Sifat-sifat fungsi invers dari fungsi komposisi:<br />1) (g . f) -1 (x) = (f -1 . g -1)(x)<br />2) (f . g) -1 (x) = (g -1 . f -1)(x)Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-52323324746954339652010-01-13T23:47:00.000-08:002010-01-16T20:05:12.492-08:00Gradien<p>Bisi kita artikan Gradien/slope adalah nilai peubah “change value” antara 2 buah titik yang berbeda <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=a%3D%28x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="a=(x_{0},y_{0})" title="a=(x_{0},y_{0})" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=b%3D%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="b=(x_{1},y_{1})" title="b=(x_{1},y_{1})" class="latex" /> yang didefinisikan</p> <p style="text-align: center;"><img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%5Cdisplaystyle+m_%7Ba%2Cb%7D%3D%5Cfrac%7Bx_%7B1%7D-x_%7B0%7D%7D%7By_%7B1%7D-y_%7B0%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="{\displaystyle m_{a,b}=\frac{x_{1}-x_{0}}{y_{1}-y_{0}}}" title="{\displaystyle m_{a,b}=\frac{x_{1}-x_{0}}{y_{1}-y_{0}}}" class="latex" /></p> <p style="text-align: left;">Kenapa harus 2 buah titik yang berbeda? karena jika <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=a%3Db&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="a=b" title="a=b" class="latex" /> maka</p> <p style="text-align: left;"><img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=m_%7Ba%2Cb%7D%3D0%2F0&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="m_{a,b}=0/0" title="m_{a,b}=0/0" class="latex" />. Dari gradien ini kita bisa membentuk persamaan garis lurus yang melalui <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=a&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="a" title="a" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=b&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="b" title="b" class="latex" /> dengan rumus sebagai berikut</p> <p style="text-align: left;"><span id="more-1339"></span></p> <p style="text-align: center;"><img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%5Cdisplaystyle+y-y_%7B0%7D%3Dm_%7Ba%2Cb%7D%28x-x_%7B0%7D%29%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="{\displaystyle y-y_{0}=m_{a,b}(x-x_{0})}" title="{\displaystyle y-y_{0}=m_{a,b}(x-x_{0})}" class="latex" /></p> <p style="text-align: left;">Misalkan kita mempunyai suatu fungsi <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="f(x)" title="f(x)" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x_%7B0%7D%2Cx_%7B1%7D%5Cin+D%28f%28X%29%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="x_{0},x_{1}\in D(f(X))" title="x_{0},x_{1}\in D(f(X))" class="latex" /> domain <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="f(x)" title="f(x)" class="latex" /> maka kita mempunyai <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x_%7B0%7D%29%2Cf%28x_%7B1%7D%29%5Cin+Im%28f%28x%29%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="f(x_{0}),f(x_{1})\in Im(f(x))" title="f(x_{0}),f(x_{1})\in Im(f(x))" class="latex" /> image/daerah hasil <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="f(x)" title="f(x)" class="latex" />, sekarang kita mempunyai 2 buah titik yang berbeda <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=p%3D%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="p=(x_{0},f(x_{0}))" title="p=(x_{0},f(x_{0}))" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=q%3D%28x_%7B1%7D%2Cf%28x_%7B1%7D%29%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="q=(x_{1},f(x_{1}))" title="q=(x_{1},f(x_{1}))" class="latex" />, maka persamaan garis lurus yang menghubungkan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=p&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="p" title="p" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=q&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="q" title="q" class="latex" /> kita sebut sebagai <strong>tali busur/secant line</strong>.</p> <p style="text-align: center;">***</p> <p style="text-align: left;">Sekarang kita asumsikan jarak <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=p&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="p" title="p" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=q&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="q" title="q" class="latex" /> sangat-sangat dekat sekali <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5CVert+p-q%5Cright%5CVert+%3Dh%5Crightarrow0&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\left\Vert p-q\right\Vert =h\rightarrow0" title="\left\Vert p-q\right\Vert =h\rightarrow0" class="latex" /> atau dengan kata lain <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=p%3D%28x_%7Bo%7D%2Cf%28x_%7Bo%7D%29%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="p=(x_{o},f(x_{o}))" title="p=(x_{o},f(x_{o}))" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=q%3D%28x_%7Bo%7D%2Bh%2Cf%28x_%7Bo%7D%2Bh%29%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="q=(x_{o}+h,f(x_{o}+h))" title="q=(x_{o}+h,f(x_{o}+h))" class="latex" />, karen <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=h&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="h" title="h" class="latex" /> menuju nol tapi tidak pernah mencapai nol (<img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=h%5Cneq0&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="h\neq0" title="h\neq0" class="latex" />) maka <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=p&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="p" title="p" class="latex" /> dan <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=q&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="q" title="q" class="latex" /> <strong>akan selalu menjadi </strong>2 buah titik yang berbeda, tidak pernah sama, diperoleh gradien sebagai berikut</p> <p style="text-align: center;"><img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%5Cdisplaystyle+m_%7Bp%2Cq%7D%3D%5Clim_%7Bh%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7Bf%28x_%7B0%7D%2Bh%29-f%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bx_%7B0%7D%2Bh-x_%7B0%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="{\displaystyle m_{p,q}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{x_{0}+h-x_{0}}}" title="{\displaystyle m_{p,q}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{x_{0}+h-x_{0}}}" class="latex" /></p> <p style="text-align: center;"><img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%5Cdisplaystyle+m_%7Bp%2Cq%7D%3D%5Clim_%7Bh%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7Bf%28x_%7B0%7D%2Bh%29-f%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bh%7D%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="{\displaystyle m_{p,q}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}" title="{\displaystyle m_{p,q}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}" class="latex" /></p> <p style="text-align: left;">Inilah yang kita namakan <strong>turunan/derivative </strong><img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=f%27%28x_%7B0%7D%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="f'(x_{0})" title="f'(x_{0})" class="latex" />, jadi turunan adalah gradien 2 buah titik pada kurva yang mana jarak keduanya sangat-sangat dekat sekali.</p><p style="text-align: left;"><br /></p>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-71471785867515531032010-01-13T23:46:00.000-08:002010-01-16T20:19:21.242-08:00Fungsi logaritma<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh80pXri-qiobshvZuaQyL9j7ka2MbiRN-PzbCzXGbsrkYD0XqbWtUDOyVGpzHg5CAukSbw9fqs4pLoMZTi8LjvGC432vDmh3EMKxhKiAP0GZyXFFecWYMuOepiJG7qnPlDzHbNpHsGjilD/s1600-h/300px-Logarithms.png"><img style="margin: 0pt 10px 10px 0pt; float: left; cursor: pointer; width: 300px; height: 210px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh80pXri-qiobshvZuaQyL9j7ka2MbiRN-PzbCzXGbsrkYD0XqbWtUDOyVGpzHg5CAukSbw9fqs4pLoMZTi8LjvGC432vDmh3EMKxhKiAP0GZyXFFecWYMuOepiJG7qnPlDzHbNpHsGjilD/s320/300px-Logarithms.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5427557560422361874" border="0" /></a><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />Operasi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika" title="Matematika">matematika</a> yang merupakan kebalikan dari eksponen atau <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemangkatan&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pemangkatan (halaman belum tersedia)">pemangkatan</a>.<br /><br /><p>Rumus dasar logaritma:</p> <p>b<sup>c</sup>= a ditulis sebagai <sup>b</sup>log a = c (b disebut basis)</p> Beberapa orang menuliskan <sup>b</sup>log a = c sebagai log<sub>b</sub>a = c<br /><br /><br /><br /><h2><span class="mw-headline" id="Mencari_nilai_logaritma">Mencari nilai logaritma</span></h2> <p>Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:</p> <ul><li><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tabel" title="Tabel">Tabel</a></li><li><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator" class="mw-redirect">Kalkulator</a> (yang sudah dilengkapi fitur log)</li></ul> <h2><span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Rumus">Rumus</span></h2> <ul><li><sup>x</sup>log x = 1</li><li><sup>x^n</sup>log x<sup>m</sup> = m/n</li><li><sup>b</sup>log x + <sup>b</sup>log y = <sup>b</sup>log (x.y)</li><li><sup>b</sup>log x - <sup>b</sup>log y = <sup>b</sup>log (x:y)</li><li>(<sup>a</sup>log b)(<sup>b</sup>log c) = <sup>a</sup>log c</li><li><sup>b</sup> log x<sup>n</sup> = n.<sup>b</sup>log x</li><li><sup>b</sup> log x = <sup>k</sup>log x : <sup>k</sup>log b</li></ul> <h2><span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Kegunaan_logaritma">Kegunaan logaritma</span></h2> <p>Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral">integral</a>. Dalam persamaan <i>b</i><sup><i>n</i></sup> = <i>x</i>, <i>b</i> dapat dicari dengan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" class="new" title="Akar (matematika) (halaman belum tersedia)">pengakaran</a>, <i>n</i> dengan logaritma, dan <i>x</i> dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_eksponensial" title="Fungsi eksponensial">fungsi eksponensial</a>.</p><h3><span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Penghitungan_yang_lebih_mudah">Penghitungan yang lebih mudah</span></h3> <p>Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::</p> <table style="border: 1px solid ;" align="center"> <tbody><tr align="center"> <th>Penghitungan dengan angka</th> <th>Penghitungan dengan eksponen</th> <th>Identitas Logaritma</th> </tr> <tr align="center"> <td><img class="tex" alt=" \!\, a b " src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/d/66d6115b0b473ed6d4d9216d05e1a9b8.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, A + B " src="http://upload.wikimedia.org/math/3/b/a/3baa44f4b9b1424fdfc4bd3cbdc7d919.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b) " src="http://upload.wikimedia.org/math/f/8/7/f877980006644af90ca800cc9ef6166e.png" /></td> </tr> <tr align="center"> <td><img class="tex" alt=" \!\frac{a}{b} " src="http://upload.wikimedia.org/math/5/e/a/5ea44326abc962ba98e96a58b678044a.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, A - B " src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/a/84a7071c4e8f6e2e93982835cae37c67.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b) " src="http://upload.wikimedia.org/math/6/1/1/611941db95dc0a03585f27c306eaca28.png" /></td> </tr> <tr align="center"> <td><img class="tex" alt=" \!\, a ^ b " src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/c/ffc8ba2bd5a93d23b7d2c1da6b66d5bc.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, A b " src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/4/f641f81db2b94e69cc4daf89f729920b.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, \log(a ^ b) = b \log(a) " src="http://upload.wikimedia.org/math/3/e/a/3ea5d5618845a61e659af020cb23168a.png" /></td> </tr> <tr align="center"> <td><img class="tex" alt=" \!\, \sqrt[b]{a} " src="http://upload.wikimedia.org/math/5/3/4/53461f66c006c3895b99f26c37688dea.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, \frac{A}{b} " src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/f/fff733fdf4e64c40a858ee3a594eeba0.png" /></td> <td><img class="tex" alt=" \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b} " src="http://upload.wikimedia.org/math/c/c/2/cc274be813e72c4f19a1eaf441bf51d2.png" /></td> </tr> </tbody></table> <p>Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator" class="mw-redirect">kalkulator</a> sebagai hasil perkembangan teknologi modern.</p> <p>Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan <i>radix</i> pangkat atau akar tersebut.</p> <h3><span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Kalkulus">Kalkulus</span></h3> <p><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan" title="Turunan">Turunan</a> fungsi logaritma adalah</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/5/7/d574ef3ff1a6c64f620f0aa1f4090895.png" /></dd></dl> <p>dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis <i>e</i>. Jika <i>b</i> = <i>e</i>, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}." src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/5/f65b3e8b30827a42efd0bf16f8a196c2.png" /></dd></dl> <p><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral">Integral</a> fungsi logaritma adalah</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/b/7/3b793ef3636161499f49574364cb5877.png" /></dd></dl> <p>Integral logaritma berbasis e adalah</p> <dl><dd><img class="tex" alt="\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\," src="http://upload.wikimedia.org/math/b/9/d/b9d8e141774e87b114bfe31c08cf5791.png" /></dd></dl> <h2><span class="editsection"></span><span class="mw-headline" id="Penghitungan_nilai_logaritma">Penghitungan nilai logaritma</span></h2> <p>Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.</p> <dl><dd><img class="tex" alt=" \log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/2/7/727ddc5152cc508a8c7238adf7b0f4a0.png" /></dd></dl> <p>Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.</p>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-90653393322211174462010-01-12T23:59:00.003-08:002010-01-14T00:20:22.915-08:00TRIGONOMETRI<span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > <b>PENJUMLAHAN DUA SUDUT </b></span> <b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > (</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > + </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >)</span></b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > <br /><br /></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >sin(<span style="font-family:Symbol;">a</span> + <span style="font-family:Symbol;">b</span>) = sin <span style="font-family:Symbol;">a</span> cos <span style="font-family:Symbol;">b</span> + cos <span style="font-family:Symbol;">a</span> sin <span style="font-family:Symbol;">b<br /></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >cos(<span style="font-family:Symbol;">a</span> + <span style="font-family:Symbol;">b</span>) = cos <span style="font-family:Symbol;">a</span> cos <span style="font-family:Symbol;">b</span> - sin <span style="font-family:Symbol;">a</span> sin <span style="font-family:Symbol;">b<br /></span></span>tg(<span style="font-family:Symbol;">a + b <span style="font-family:Verdana;">) = <u>tg <span style="font-family:Symbol;">a</span> + tg <span style="font-family:Symbol;">b</span></u> <br /> 1 - tg<sup>2</sup><span style="font-family:Symbol;">a</span></span> </span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /><br /><b>SELISIH DUA SUDUT</b></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><b> (</b></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span> - <span style="font-family:Symbol;">b</span>)</span></b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /><br /></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >sin(<span style="font-family:Symbol;">a</span> - <span style="font-family:Symbol;">b</span>) = sin <span style="font-family:Symbol;">a</span> cos <span style="font-family:Symbol;">b</span> - cos <span style="font-family:Symbol;">a</span> sin <span style="font-family:Symbol;">b<br /></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >cos(<span style="font-family:Symbol;">a</span> - <span style="font-family:Symbol;">b</span>) = cos <span style="font-family:Symbol;">a</span> cos <span style="font-family:Symbol;">b</span> + sin <span style="font-family:Symbol;">a</span> sin <span style="font-family:Symbol;">b<br /></span></span>tg(<span style="font-family:Symbol;">a <span style="font-family:Verdana;">-</span> b <span style="font-family:Verdana;">) = <u>tg <span style="font-family:Symbol;">a</span> - tg <span style="font-family:Symbol;">b</span></u><br /> 1 + tg<sup>2</sup><span style="font-family:Symbol;">a</span></span> </span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /><br /><b>SUDUT RANGKAP<br /><br /></b>sin 2</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = 2 sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />cos 2</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = cos<sup>2</sup></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > - sin<sup>2</sup> </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /><img src="http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" height="8" width="44" /> = 2 cos<sup>2</sup></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > - 1<br /><img src="http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" height="8" width="44" /> = 1 - 2 sin<sup>2</sup></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />tg 2</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = <u> 2 tg 2</u></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > </span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /> 1 - tg<sup>2</sup></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = ½ sin 2</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />cos<sup>2</sup></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = ½(1 + cos 2</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >)<br />sin2</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = ½ (1 - cos 2</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >)<b><br /><br />Secara umum :</b><br /><br />sin n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = 2 sin ½n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos ½n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />cos n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = cos<sup>2</sup> ½n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > - 1<br /><img src="http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" height="8" width="49" />= 2 cos<sup>2</sup> ½n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > - 1<br /><img src="http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" height="8" width="49" />= 1 - 2 sin<sup>2 </sup>½n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />tg n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = <u> 2 tg ½n</u></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > </span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /> 1 - tg<sup>2</sup> ½n</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><b><br /><br />JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA<br /><br /><br /><i>BENTUK PENJUMLAHAN </i></b></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">®</span></span></b><i><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > PERKALIAN<br /></span></b></i><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><b><br /></b>sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > + sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = 2 sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /> 2 2 <br />sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > - sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = 2 cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /> 2 2 <br />cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > + cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = 2 cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /> 2 2 <br />cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > + cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = - 2 sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><u>a</u></span></span><u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span></u><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /> 2 2 <br /><br /><b><i>BENTUK PERKALIAN </i></b></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">®</span></span></b><i><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > PENJUMLAHAN<br /></span></b></i><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />2 sin</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) + sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span>)<span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />2 cos</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) - sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span>)<span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />2 cos</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) + cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span>)<span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > - 2 sin</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > = cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > +</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) - sin </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">(a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > -</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"> b</span></span>)<span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /><br /><b>PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA<br /></b><br />Bentuk <b>a cos x + b sin x<br /></b><br />Merubah bentuk <b><i>a cos x + b sin x</i></b> ke dalam bentuk <i> <b>K cos (x - </b></i></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;"><b>a</b></span></span><i><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >)</span></b></i><br /><div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /><b>a cos x + b sin x = K cos (x-</b></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >)</span></b><br /></div><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >dengan : <b> <u> </u><br /> K = <span style="font-family:Symbol;">Ö</span>a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> dan tg <span style="font-family:Symbol;">a</span> = b/a <span style="font-family:Symbol;">Þ a</span> = ... ?<br /></b><br />Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut<br /></span><br /><table align="center" border="1"><tbody> <tr bgcolor="#cccccc"> <td width="20%"> <br /></td> <td width="20%"> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >I</span></div></td> <td width="20%"> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >II</span></div></td> <td width="20%"> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >III</span></div></td> <td width="20%"> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >IV</span></div></td> </tr> <tr> <td bg="" style="color: rgb(204, 204, 204);" width="20%"> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >a</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >+</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >-</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >-</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >+</span></div></td> </tr> <tr> <td bg="" style="color: rgb(204, 204, 204);" width="20%"> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >b</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >+</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >+</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >-</span></div></td> <td> <div align="center"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >-</span></div></td> </tr> </tbody></table><div align="left"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >keterangan :<br />a = koefisien cos x<br />b = koefisien sin x </span><br /></div><div align="left"><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /></span> <span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > <b>PERSAMAAN</b><br /><b>I.</b> <b>sin x = sin </b></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span></b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > <span style="font-family:Symbol;">Þ</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > x1 = </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > + n.360°<br /> x2 = (180° - </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) + n.360°<br /> <b>cos x = cos </b></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span></b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">Þ</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > x = ± </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > + n.360°<br /> <b>tg x = tg a</b> </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">Þ </span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >x = a + n.180° (n = bilangan bulat)<br /><br /></span> <span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > </span><br /></div><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > <b>II.</b> <b>a cos x + b sin x = c</b><br /> a cos x + b sin x = C<br /> K cos (x-</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) = C<br /> cos (x-</span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) = C/K<br /></span> <span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > syarat persamaan ini dapat diselesaikan<br /> <b>-1 </b></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">£</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > C/K </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">£</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > 1 atau K² </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">³</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > C²</span></b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > (bila K dalam bentuk akar)<br /><br />misalkan C/K = cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br />cos (x - </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) = cos </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" ><br /> (x - </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">a</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" >) = ± </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">b</span></span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;color:black;" > + n.360° </span><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" ><span style="font-family:Symbol;">®</span></span> <span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >x =</span><b> (<span style=";font-family:Symbol;font-size:x-small;" >a</span> </b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" >±</span><b> <span style=";font-family:Symbol;font-size:x-small;" >b</span>) </b> <span style="font-size:x-small;"> <span style="font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">+</span></span><b><span style=";font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;font-size:x-small;" > n.360°</span></b>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-25234361333808166442010-01-12T23:59:00.002-08:002010-01-14T00:15:47.467-08:00Bagian 1<h3 style="font-weight: normal;">Matematika – Trigonometri – Landasan teori</h3><br /><div>Sebelum kita membahas trigonometri secara lanjut ada baiknya kita membahas landasan teori trigonometri</div><br /><div><b>Landasan teori</b></div><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhf7mb9DTcFBueC5OgY8Muj5Dmk4MAhBXxVmC42YvrAWBR228lU4wUMtbufaaoY0XGnSzNeQUlvo3dlqQYpRNFHrvw8bzFVoyZU3nzKAcyS57Th_cje6a6ffxBuvSUtX-d5TEtYxTtQRKU/s1600-h/landasan+teori+trigonometri.GIF"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5141949758633169794" style="" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhf7mb9DTcFBueC5OgY8Muj5Dmk4MAhBXxVmC42YvrAWBR228lU4wUMtbufaaoY0XGnSzNeQUlvo3dlqQYpRNFHrvw8bzFVoyZU3nzKAcyS57Th_cje6a6ffxBuvSUtX-d5TEtYxTtQRKU/s200/landasan+teori+trigonometri.GIF" border="0" /></a><br /></div><br /><br /><div>Maka : </div><br /><div>sin α =<u> y </u> cosec α = <u> 1 </u><br /> r sin α<br />cos α =<u> x </u> sec α = <u> 1 </u><br /> r cos α<br />tan α =<u> y </u> cotan α = <u> 1 </u><br /> x tan α</div><br /><div>dengan memahami landasan teori ini, maka kita dapat memahami, menggunakan dan mengembangkannya menjadi rumus penjumlahan sudut, rumus trigonometri sudut rangkap, rumus trigonometri sudut pertengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, serta rumus penjumlahan sinus dan cosinus. </div><br /><div>di bangku pendidikan kita diajarkan cara mudah untuk mengingat rumus dasar tersebut, yaitu: <b>demi suami di desa</b>, dimana </div><br /><div>demi adalah depan dan miring (sin),<br />suami disamarkan menjadi sami adalah samping dan miring (cos)dan<br />desa adalah depan dan samping (tan). </div><br /><div>supaya lebih jelas lihat gambar dibawah ini. </div><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge2R61NINziBplhSGwfDlQCQbYgS-3I2h9UeIVqcUpRn3MI9-29YsyBJtQljuDsDFUXejVxBempTHwgmO9CoK9_0gzZBoAj7y_jij0Y0DszrIV5Uby0sCnAx1K-mdXpaG3RkDOWQ8zqi8/s1600-h/landasan+teori+trigonometri2.GIF"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5141950308388983698" style="" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge2R61NINziBplhSGwfDlQCQbYgS-3I2h9UeIVqcUpRn3MI9-29YsyBJtQljuDsDFUXejVxBempTHwgmO9CoK9_0gzZBoAj7y_jij0Y0DszrIV5Uby0sCnAx1K-mdXpaG3RkDOWQ8zqi8/s200/landasan+teori+trigonometri2.GIF" border="0" /></a>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-16013418532505869292010-01-12T23:59:00.001-08:002010-01-14T00:00:50.610-08:00Bagian 2<h3><span style="font-weight: normal;">Matematika – Trigonometri – Sudut istimewa</span></h3><br /><div>dalam menentukan nilai dari fungsi trigonometri kita dapat menggunakan banyak cara, diantaranya : </div><br /><div>menggunakan tabel fungsi trigonometri,<br />menggunakan kalkulator, dan<br />menggunakan sudut istimewa pada fungsi trigonometri. </div><br /><div>penggunaan tabel fungsi trigonometri berguna pada saat kita <b>menyelesaikan</b> soal dengan sudut sembarang antara 0,00 hingga 90,00 dengan ketelitian yang cukup tinggi, sedangkan penggunaan kalkulator berguna pada saat kita <b>memeriksa</b> hasil dari usaha dalam menyelesaikan soal diatas tapi didalam UAN dan SPMB jarang sekali diperbolehkan menggunakan keduanya. penggunaan sudut istimewa sangat sering digunakan pada kedua ujian tersebut. </div><br /><div>dengan memanfaatkan sudut istimewa pada fungsi trigonometri maka kita bisa mendapatkan nilai fungsi secara cepat, sudut-sudut tersebut ialah : </div><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIm4TIbSNjgz8u3LVbeI72StcHRnPmSC2ZGy8319B2phYTD17GoicLFz09PnTrK1GM49xMrNo0nHGdqKeb-86aSm97xFkQZeRM_LXKHiKaK5-KW4Kk22EeJEZCXUUcx4JH0lopLTK0oFs/s1600-h/tabel+sudut+istimewa.GIF"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5141963107391525794" style="" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIm4TIbSNjgz8u3LVbeI72StcHRnPmSC2ZGy8319B2phYTD17GoicLFz09PnTrK1GM49xMrNo0nHGdqKeb-86aSm97xFkQZeRM_LXKHiKaK5-KW4Kk22EeJEZCXUUcx4JH0lopLTK0oFs/s200/tabel+sudut+istimewa.GIF" border="0" /></a> </div><br /><div>nilai-nilai tersebut didapat dari permisalan berikut : </div><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1UIX3EogmQL3-W9MvhvpNSBSbI55Hbb9BYGgVNb6XehM0kSM6_aNg1jJLF8kJqq8SryQx0TcfN9vD2VmDMy4KaWC1lo_eJKxirlIYq-grS1yc_46G1N1h4X80UZcW_QCQhTYuMUBvyLw/s1600-h/sudut+istimewa.GIF"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5141963274895250354" style="" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1UIX3EogmQL3-W9MvhvpNSBSbI55Hbb9BYGgVNb6XehM0kSM6_aNg1jJLF8kJqq8SryQx0TcfN9vD2VmDMy4KaWC1lo_eJKxirlIYq-grS1yc_46G1N1h4X80UZcW_QCQhTYuMUBvyLw/s200/sudut+istimewa.GIF" border="0" /></a></div><br /><div>contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut : </div><br /><div>nilai dari sin 30 adalah ...<br />seperti kita ketahui bahwa sin adalah depan bagi miring, maka 1 ÷ 2 = ½.</div><br /><div>nilai dari cos 30 adalah ...<br />cos adalah samping bagi miring, maka √3 ÷ 2 = ½ √3</div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-69016881779244304412010-01-12T23:59:00.000-08:002010-01-13T23:59:41.274-08:00Bagian 3<h3><span style="font-weight: normal;">Matematika – Trigonometri – Konversi sudut</span></h3><br /><div>jika nilai sudut berada diluar kisaran 0 sampai 90 maka kita dapat menyederhanakannya dengan menggunakan aturan sebagai berikut : </div><br /><div>jika sudut berada pada kisaran 90 sampai 180, maka<br />α = ( 180 – α )<br />jika sudut berada pada kisaran 180 sampai 270, maka<br />α = ( α – 180 )<br />jika sudut berada pada kisaran 270 sampai 360 maka<br />α = ( 360 – α ) </div><br /><div>kita juga dapat menggunakan aturan pencerminan, dimana garis horizontalnya dapat dijadikan sebagai patokan. agar lebih memahami perhatikan gambar berikut : </div><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-uPC3MSbBgcmllQrGebeFQV-8XQBEV7DfrxwdF2BiRTxFFJ5lFLIsgNf1PSBKBXnkFtF894UPT-oE_aFgVUBNMLY3f7aYzPL2KQw2s5QrUEe49q5PtZmY7-yMyEqK7MxrLBK9FhGx02E/s1600-h/konversi+sudut.GIF"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5141965783156151234" style="" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-uPC3MSbBgcmllQrGebeFQV-8XQBEV7DfrxwdF2BiRTxFFJ5lFLIsgNf1PSBKBXnkFtF894UPT-oE_aFgVUBNMLY3f7aYzPL2KQw2s5QrUEe49q5PtZmY7-yMyEqK7MxrLBK9FhGx02E/s200/konversi+sudut.GIF" border="0" /></a></div><br /><div>contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut : </div><br /><div>s: jika sudut yang diketahui adalah 150, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...<br />j: selisih dari 180 dengan 150 adalah 30, maka hasil penyederhanaannya adalah 30. </div><br /><div>s: jika sudut yang diketahui adalah 225, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...<br />j: selisih dari 180 dengan 225 adalah 45, maka hasil penyederhanaannya adalah 45. </div><br /><div>s: jika sudut yang diketahui adalah 300, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...<br />j: selisih dari 360 dengan 300 adalah 60, maka hasil penyederhanaannya adalah 60. </div><br /><div>aturan pencerminan digunakan pada saat kita lupa dengan 3 aturan penyederhanaan tersebut, karena pada prinsipnya kedua aturan tersebut sama tapi aturan pencerminan dibantu dengan gambar supaya mudah diingat. </div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-83538227043650298912010-01-12T23:53:00.000-08:002010-01-13T23:58:42.365-08:00Bagian 4<h3 style="font-weight: normal;"> Matematika – Trigonometri – sifat fungsi terhadap kuadran</h3><br /><div>setelah sudut disederhanakan, kita juga mesti memerhatikan <b>sifat fungsi terhadap kuadran</b> posisi ia berada. perhatikan gambar berikut : </div><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_xeMHxbz4DXEYvKCe66h6S84ArK-a-fd2ihh8Dci4VTPFEJ8IX5HE4ZrVogfO5rLAo2Vbfy7E02QPzVWKNAg8gciIgapxtUfDnA7aqH50je-ed-vtM_FXLCOp3VsPiacllSUeH88TdX8/s1600-h/kuadran.GIF"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5143069770139849682" style="" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_xeMHxbz4DXEYvKCe66h6S84ArK-a-fd2ihh8Dci4VTPFEJ8IX5HE4ZrVogfO5rLAo2Vbfy7E02QPzVWKNAg8gciIgapxtUfDnA7aqH50je-ed-vtM_FXLCOp3VsPiacllSUeH88TdX8/s200/kuadran.GIF" border="0" /></a></div><br /><div>pada kuadran I ( besar sudut antara 0 sampai 90 ), semua fungsi bernilai positif,<br />pada kuadran II ( besar sudut antara 90 sampai 180 ), fungsi sin bernilai positif yang lain negatif,<br />pada kuadran III ( besar sudut antara 180 sampai 270 ), fungsi tan bernilai positif yang lain negatif,<br />pada kuadran IV ( besar sudut antara 270 sampai 360 ), fungsi cos bernilai positif yang lain negatif. </div><br /><div>agar lebih memahami, perhatikan contoh berkut : </div><br /><div>s: berapa nilai dari cos 120 ?<br />j: cos 120<br />cos (180 - 120 ) _______( i )<br />- cos 60 _____________( ii )<br />- ½ ________________( iii ) </div><br /><div>keterangan<br />( i ) menggunakan konversi sudut.<br />( ii ) menggunakan sifat fungsi terhadap kuadran.<br />( iii ) menggunakan sudut istimewa. </div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-46992764013371952492010-01-12T23:50:00.000-08:002010-01-13T23:57:20.312-08:00Bagian 5<h3 style="font-weight: normal;"> Matematika – Trigonometri – Rumus penjumlahan dan pengurangan 2 sudut</h3><br /><div>untuk menjumlahkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti : </div><br /><div>sin ( α + β )<br />cos ( α + β )<br />tan ( α + β ) </div><br /><div>dapat menggunakan <b>rumus penjumlahan</b> sebagai berikut : </div><br /><div>sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β<br />cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β<br />tan ( α + β ) = <u>tan α + tan β</u><br /> 1 - tan α tan β </div><br /><div>dan untuk mengurangkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti : </div><br /><div>sin ( α - β )<br />cos ( α – β )<br />tan ( α – β ) </div><br /><div>dapat menggunakan <b>rumus pengurangan</b> sebagai berikut :</div><br /><div>sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β<br />cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β<br />tan ( α – β ) = <u>tan α – tan β</u><br /> 1 + tan α tan β</div><br /><div>kalau kita lihat kedua aturan diatas memiliki kesamaan dan hanya dibedakan tanda plus dan minus, berarti kita hanya perlu mengingat aturan penjumlahan saja dan secara otomatis kita dapat mengingat rumus pengurangannya. </div><br /><div>agar kita dapat lebih memahami aturan penjumlahan dan pengurangan, ada baiknya kita mengetahui bagaimana cara mendapatkan aturan tersebut. cara tersebut dapat dilihat diberbagai buku cetak pelajaran. </div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-69553027174973457672010-01-12T23:48:00.000-08:002010-01-13T23:49:49.538-08:00Bagian 6<h3 style="font-weight: normal;"> Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut rangkap</h3><br /><div>untuk memahami rumus ini, ada baiknya kita mengingat kembali <a href="http://matematika-qt.blogspot.com/2007/12/dasar-trigonometri-part-5.html">rumus penjumlahan</a> sudut dimana</div><br /><div>sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β<br />cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β<br />tan ( α + β ) = <u> tan α + tan β </u><br /> 1 - tan α tan β</div><br /><div>langkah selanjutnya kita mengganti variabel b dengan a, maka akan kita dapati <b>rumus sudut rangkap</b> sebagai berikut : </div><br /><div>sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α<br />sin ( 2 α ) = 2 sin α cos α</div><br /><div>cos ( α + α ) = cos α cos α – sin α sin α<br />cos ( 2 α ) = cos² α – sin² α</div><br /><div>tan ( α + α ) = <u> tan α + tan α </u><br /> 1 - tan α tan α<br />tan ( 2 α ) = <u> 2 tan α </u><br /> 1 – tan² α</div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-57127050624160607632010-01-12T23:47:00.000-08:002010-01-13T23:47:59.996-08:00Bagian 7<h3 style="font-weight: normal;"> Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut pertengahan</h3><br /><div>setelah mendapatkan rumus trigonometri sudut rangkap dari pengembangan rumus penjumlahan sudut, dan sekarang kita mengembangkan rumus trigonometri sudut rangkap menjadi rumus sudut pertengahan, adapun langkah dari pengembangan tersebut dapat dilihat dari buku cetak matematika. </div><br /><div>sin ½α = / <u> 1 – cos α </u><br /> √ 2</div><br /><div>cos ½α = / <u> 1 + cos α </u><br /> √ 2</div><br /><div>tan ½α = / <u> 1 – cos α </u><br /> √ 1 + cos α</div><br /><div>bentuk lain dari rumus tan ½α</div><br /><div>tan ½α = <u> sin α </u><br /> 1 + cos α</div><br /><div>tan ½α = <u>1 – cos α</u><br /> sin α</div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-9472768604842539472010-01-12T23:45:00.000-08:002010-01-13T23:45:31.972-08:00Bagian 8<h3><span style="font-weight: normal;">Matematika – Trigonometri – rumus perkalian sinus dan kosinus</span></h3><br /><div>sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengalikan fungsi trigonometri, pada dasarnya rumus ini hasil pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan cara eliminasi atau bisa juga dengan cara substitusi, seperti biasa cara pengembangannya dapat dilihat dibuku cetak matematika</div><br /><div>sin α cos β = ½ { sin ( α + β ) + sin ( α – β ) }<br />cos α sin β = ½ { sin ( α + β ) – sin ( α – β ) }<br />cos α cos β = ½ { cos ( α + β ) + cos ( α – β ) }<br />sin α sin β = - ½ { cos ( α + β ) – cos ( α – β ) }</div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-67117768987447636172010-01-12T23:41:00.000-08:002010-01-13T23:43:13.343-08:00Bagian 9<h3 style="font-weight: normal;"> Matematika – Trigonometri – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus</h3><br /><div>rumus ini berbeda dengan rumus penjumlahan sudut, karena disini yang dijumlahkan bukan sudut melainkan fungsi trigonometri. rumus ini dapat kita kembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus, seperti biasa proses pengembangan rumus dapat dilihat dari buku cetak matematika</div><br /><div>sin α + sin β = 2 sin ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )<br />sin α – sin β = 2 cos ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )<br />cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )<br />cos α – cos β = - 2 sin ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β ) </div>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5915301691277487260.post-79328586364163382912010-01-12T21:33:00.000-08:002010-01-12T21:37:36.633-08:00My My My<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrKJM7QAUGrc4QuOmo3fG_igoAE2r9fVqPMd4yI2Jkeq8nt-8Z9-LwcxlW4UPzkwZ7fUhR7yXe6zprKXahDa6X4jBV7J5fy_uRVGY7ESRRev5FqluMI2RO5aHvVqCDjhBSSze6yYgAWJlj/s1600-h/cew'.jpg"><img style="margin: 0pt 10px 10px 0pt; float: left; cursor: pointer; width: 218px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrKJM7QAUGrc4QuOmo3fG_igoAE2r9fVqPMd4yI2Jkeq8nt-8Z9-LwcxlW4UPzkwZ7fUhR7yXe6zprKXahDa6X4jBV7J5fy_uRVGY7ESRRev5FqluMI2RO5aHvVqCDjhBSSze6yYgAWJlj/s320/cew'.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5426094236623913314" border="0" /></a><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5GKwUYEPQDW5rxZK7dGv9r56ee1KpTh483lFNvSNgM4Jrrn5sO6vLSrYWdb76ym-zSOI1PVHkFWZdi07wK8qnM5ee2zFcshLDxyEA1wGvaBRB5RUorcVi8_3-SZOKR0UxuPdwSxEYusrZ/s1600-h/cut3-cipi7.jpg"><img style="margin: 0pt 10px 10px 0pt; float: left; cursor: pointer; width: 220px; height: 296px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5GKwUYEPQDW5rxZK7dGv9r56ee1KpTh483lFNvSNgM4Jrrn5sO6vLSrYWdb76ym-zSOI1PVHkFWZdi07wK8qnM5ee2zFcshLDxyEA1wGvaBRB5RUorcVi8_3-SZOKR0UxuPdwSxEYusrZ/s320/cut3-cipi7.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5426093830947810514" border="0" /></a><br /><a style="font-weight: bold;" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjR_rjOV5sqVczfCgkUoAPWyks0ltbUHYdxiM7e1FkYcEnI1e4Z-xRBW0NkCOr9ajAGckEoyg8ONoEqhYGxpQir8YYDvUrdYGV0rxUnwk4_B2EOV1YTIjQIIr5ftFdBBtegJ30uk3i_gbo5/s1600-h/2_608147611l.jpg"><img style="margin: 0pt 10px 10px 0pt; float: left; cursor: pointer; width: 320px; height: 240px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjR_rjOV5sqVczfCgkUoAPWyks0ltbUHYdxiM7e1FkYcEnI1e4Z-xRBW0NkCOr9ajAGckEoyg8ONoEqhYGxpQir8YYDvUrdYGV0rxUnwk4_B2EOV1YTIjQIIr5ftFdBBtegJ30uk3i_gbo5/s320/2_608147611l.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5426093426070545890" border="0" /></a>Fajar_Pufihttp://www.blogger.com/profile/12057187569300087764noreply@blogger.com0