WELCOME: Relasi A x A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Refleksif
Irefleksif
Simetrik
Anti-simetrik
Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R$

atau

$\forall_{a \in A}\quad a R a$

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R$

atau

$\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)$

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi <> adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a$

Sebuah relasi “ $x + y$ genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))$

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b$

Relasi $\leq$ bersifat anti-simetrik, karena $5 \leq 6$ mengakibatkan $\lnot (6 \leq 5)$ . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku $p \leq q$ dan $q \leq p$ berarti $p = q$ .

Relasi Transitif

Sebuah (a,b) \in R \wedge (bin R \rightarrow (a,c) \in R atau

Gagal memparse (fungsi yang tidak diketahui\berhubungan): \forall<>\forall_{a, b, c \in A}\q_{a,relasi d b, dengac \in A}\quad a R''b'', dan b \wedge b R c \rightarrow a R c

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 <>

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

Refleksif
Simetrik, dan
Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

Refleksif
Anti-simetrik, dan
Transitif

WELCOME

Rabu, 13 Januari 2010

Relasi A x A

Relasi Refleksif

Relasi Irefleksif

Relasi Simetrik

Relasi Anti-simetrik

Relasi Transitif

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Orde Parsial

Lihat pula

Tidak ada komentar:

Posting Komentar